$\frac{q}{r} ও \frac{r}{p}$এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশও বলে। এক্ষেত্রে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর সমান করতে হয়। $\frac{a}{2b}ও \frac{m}{3n}$ভগ্নাংশ দুটি বিবেচনা করি। ভগ্নাংশ দুইটির হর 26 এবং 3n এর ল.সা.গু. 6bn.

অতএব, দুটি ভগ্নাংশেরই হর 6bn করতে হবে।

এখানে, $\frac{a}{2b}=\frac{a\times 3n}{2b\times 3n}\left[\because 6bn÷2b=3n\right]$

$=\frac{3an}{6bn}$

এবং $\frac{m}{3n}=\frac{m\times 2b }{3n\times 2b }\left[\because 6bn÷3n = 2b\right]$

$=\frac{2bm}{6bn}.$

∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি $\frac{3an }{6bn },\frac{2bm}{6bn }$

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করার নিয়ম

• ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. বের করতে হয়।
• ল.সা.গু. কে প্রত্যেক ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করে ভাগফল বের করতে হয়।
• প্রাপ্ত ভাগফল দ্বারা সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ৪। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর: $\frac{a}{4x},\frac{b}{2x^2}$

সমাধান: হর 4x এবং 2x² এর ল.সা.গু. 4x²

∴ $\frac{a}{4x}$$=\frac{a\times x}{4x\times x}$ $\left[\because 4x^2÷4x=x\right]$

$=\frac{ax}{4x^2}$

এবং $\frac{b}{2x^2}=\frac{b\times 2}{2x^2\times 2}\left[\because 4x^2+2x^2 = 2\right]$

$=\frac{2b}{4x^2}$

∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{ax}{4x^2},\frac{2b}{4x^2}$

উদাহরণ ৫। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর কর:

$\frac{2}{a^2-4},\frac{5}{a^2+3a-10}$

সমাধান:

১ম ভগ্নাংশের হর $=a^2-4=(a+2)(a-2)$

২য় ভগ্নাংশের হর $=a^2+3a-10=a^2-2a+5a-10$

$= a(a - 2) + 5(a - 2) = (a - 2)(a + 5)$

হর দুইটির ল.সা.গু. (a + 2)(a - 2)(a + 5)

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি।

∴ $\frac{2}{a^2-4 }=\frac{2}{(a+2)(a-2) }=\frac{2x(a+5) }{(a+2)(a-2)\times (a+5) }$ [লব ও হরকে (a + 5) দ্বারা গুণ করে]

এবং $\frac{5}{a^2+3a-10}=\frac{5}{(a-2)(a+5)}=\frac{5\times (a+2)}{(a-2)(a+5)\times (a+2)}$ [লব ও হরকে (a + 2) দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{5(a+2)}{(a^2-4)(a+5)}$

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ দুটি $\frac{2(a+5)}{(a^2-4)(a+5)},\frac{5(a+2)}{(a^2-4)(a+5)}$

উদাহরণ ৬। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত কর।

$\frac{1}{x^2+3x},\frac{2}{x^2+5x+6},\frac{3}{x^2-x-12}$

সমাধান: ১ম ভগ্নাংশের হর $=x^2+3x=x(x+3)$

২য় ভগ্নাংশের হর = $x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6$

= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)

৩য় ভগ্নাংশের হর = $x^2-x-12=x^2+3x-4x-12$

= x(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x - 4)

হর তিনটির ল.সা.গু. x(x + 2)(x + 3)(x - 4)

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি-

∴ ১ম ভগ্নাংশ $=\frac{1}{x^2+3x}=\frac{1x(x+2)(x-4)}{x(x+3)\times x(x+2)(x-4)}=\frac{(x+2)(x-4)}{x(x+2)(x+3)(x-4)}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{2}{x^2+5x+6}=\frac{2}{(x+2)(x+3)}=\frac{2\times x(x-4)}{(x+2)(x+3)\times x(x-4)}$

$= \frac{2x(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

৩য় ভগ্নাংশ $=\frac{3}{x^2-x-12}=\frac{3}{(x+3)(x-4)}=\frac{3\times x(x+2)}{(x+3)(x-4)\times x(x+2)}$

$= \frac{3x(x + 2)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ তিনটি যথাক্রমে

$\frac{(x + 2)(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}, \frac{2x(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}, \frac{3x(x + 2)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$